Hé! Kommutátorok szállítójaként sokat gondolkodtam azon, hogy ezeket a kis alkatrészeket hogyan lehet felhasználni a különféle tanulmányi területeken. Az egyik igazán érdekes kérdés, amely felmerül, a következő: Használható -e a kommutátor egy csoport megoldhatóságának tanulmányozására?
Kezdjük azzal, hogy megértsük, mi a kommutátor. A csoportelmélet világában, ha van egy csoport (G) és két elem (a) és (b) eleme abban a csoportban, akkor az (a) és (b) kommutátor, amelyet ([a, b]) írnak, akkor (a^{-1} b^{-1} AB) úgy definiálják. Lehet, hogy egy egyszerű kis formula, de egy ütést csomagol annak szempontjából, hogy mit mondhat nekünk a csoportról.
Nos, mit jelent egy csoport megoldhatónak? Egy csoport (G) megoldható, ha van alcsoportok sorozata (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), ahol az (e) a csoport azonosítása, és mindegyik (g_ {i + 1}) egy normál alcsoport (g_i) és a quotient csoport (g_i/g_ {i + 1}). Egyszerűbb értelemben a csoportot kisebb, sokkal viselkedett (abeli) darabokra bonthatjuk.
Szóval, hogyan illeszkednek a kommutátorok ehhez a képhez? Nos, a kommutátor alcsoport, amelyet gyakran (G ') vagy ([G, G]) jelölnek, az alcsoport, amelyet a (G) csoport összes kommutátora generál. Vagyis (g '= \ langle [a, b]: a, b \ in g \ rangle).
A kommutátor alcsoport rendkívül fontos a megoldhatóság tanulmányozásakor. Az egyik legfontosabb tulajdonság az, hogy egy csoport (G) az abelian, ha és csak akkor, ha a kommutátor alcsoportja (g '= {e}). Ennek oka az, hogy ha a (g) abeli, akkor bármi (a, b \ g), (ab = ba) esetén. Tehát, ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab = a^{-1} ab^{-1} b = e). Ezzel szemben, ha (g '= {e}), akkor az összes (a, b \ in g), ([a, b] = e), ami azt jelenti, hogy (a^{-1} b^{-1} ab = e). Szorozzuk meg a bal oldali mindkét oldalt (ab), és kapsz (ab = ba), tehát (g) abelian.
Gondoljunk most a kommutátor alcsoport és a megoldhatóság kapcsolatára. Képezhetünk egy szekvenciát a kommutátor alcsoportokból. Kezdje a (g_0 = g), akkor (g_1 = [g_0, g_0] = g '), (g_2 = [g_1, g_1]), és általában (g_ {i+1} = [g_i, g_i]). Ezt a szekvenciát a csoport (G) származtatott sorozatának nevezzük.
A (G) csoport csak akkor oldható meg, ha a származtatott sorozat végül eléri a triviális csoportot ({E}). Vagyis létezik egy nem negatív egész (n), hogy (g_n = {e}). Annak érdekében, hogy miért van ez a helyzet, először tegyük fel, hogy a (g) megoldható egy megoldható sorozatokkal (g = h_0 \ geq h_1 \ geq \ cdots \ geq h_n = {e}), ahol (h_ {i}/h_ {i + 1}) Abelian. Indukcióval megmutathatjuk, hogy (g_i \ leq h_i) mindenki számára (i). For (i = 0), (g_0 = g = h_0). Tegyük fel, hogy (g_i \ leq h_i). Mivel (h_ {i}/h_ {i + 1}) abelian, ([h_i, h_i] \ leq h_ {i + 1}). És mivel (g_ {i+1} = [g_i, g_i]) és (g_i \ leq h_i), van (g_ {i+1} \ leq [h_i, h_i] \ leq h_ {i+1}). Végül, amikor (h_n = {e}, g_n = {e}).
Ezzel szemben, ha a származtatott sorozat (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), akkor mindegyik (g_i/g_ {i+1}) abelian, mert (g_ {i+1} = (Ezt bebizonyíthatja a hányados csoportok és a kommutátorok tulajdonságainak felhasználásával). Tehát maga a származtatott sorozat egy megoldható sorozat a (g) ponthoz.
Gyakorlati szempontból, amikor egy csoportot vizsgálunk, kiszámolhatjuk a Commutator alcsoportok lépését - By - Step. Először azzal, hogy megtaláljuk a csoport összes kommutátorát, hogy az első kommutátor alcsoportot (G ') alakítsák ki. Akkor ugyanazt csináljuk a (g ') érdekében, hogy megkapjuk (g' ') és így tovább. Ha egy bizonyos ponton csak az identitás elemmel végződik, akkor tudjuk, hogy a csoport megoldható.
Kommutátor beszállítójaként ez a kapcsolat a kommutátorok és a csoportos megoldhatóság között lenyűgözőnek tartom. Ez azt mutatja, hogy ezeknek a kis alkatrészeknek, amelyekre elsősorban az elektrotechnikai és mechanikai rendszerek összefüggésében gondolkodnak, ahol ellátom őket, ennek a mély matematikai alkalmazásnak van.
Ha absztrakt algebrába tartozik, és kutatásokat végez a csoportelméletről, akkor a kommutátorok fogalma és a megoldhatóság tanulmányozásában való felhasználásuk egy teljesen új feltárási területet nyithat meg. Számítási eszközökkel kiszámíthatja a kommutátor alcsoportokat a nagy és összetett csoportok számára. Számos elméleti eredmény is segíthet a csoportok szerkezetének elemzésében a kommutátor alcsoportjaik alapján.
Ami igazán hűvös, az, hogy a csoportos megoldhatóság tanulmányozása valós - világ alkalmazásai is vannak. Például a Galois elméletben a polinom -egyenlet Galois csoportjának oldhatósága ahhoz kapcsolódik, hogy az egyenletet radikálisok megoldhatják -e. Tehát a kommutátorok felhasználásával a Galois -csoport megoldhatóságának tanulmányozására, betekintést nyerhetünk a polinom egyenletekbe.
Most, ha az elektromos vagy mechanikus projektek magas színvonalú kommutátorainak piacán tartózkodik, akkor a megfelelő helyre érkezett. A kommutátorok széles skáláját kínáljuk aKommutátorok- Függetlenül attól, hogy kis méretű kommutátorokra van szüksége a precíziós műszerekhez vagy az ipari alkalmazásokhoz nagyméretű, fedezettel.
Ha érdekli az Ön konkrét követelményeinek megvitatása, vagy árajánlatot szeretne kapni, ne habozzon elérni. Mindig örülünk, hogy beszélgetünk, és megnézhetjük, hogyan tudunk segíteni a kommutátor igényeinek. Függetlenül attól, hogy mérnök, kutató vagy valaki csak megbízható alkatrészeket keres, itt vagyunk, hogy támogassuk Önt.
Referenciák
- Dummit, DS és Foote, RM (2004). Absztrakt algebra. Wiley.
- Long, S. (2002). Algebra. Springer.