Hé! Kommutátorok szállítójaként gyakran megkérdezem, hogyan lehet kitalálni, hogy két elem ingázza -e a kommutátor alapján. Tehát azt hittem, megosztom néhány betekintést ebbe a témába.
Először beszéljünk arról, hogy mi a kommutátor. A matematika és a fizika területén a két elem (a) és (b) kommutátora úgy van meghatározva, hogy ([a, b] = ab - ba). Ez egy igazán hasznos koncepció, amely segít megérteni a két elem közötti kapcsolatot a működési sorrendük szempontjából.
Ha ([a, b] = 0), akkor azt mondjuk, hogy (a) és b) ingázza. Ez azt jelenti, hogy az (a) és b) szaporodás sorrendje nem számít; (AB) megegyezik a (BA). Másrészt, ha ([a, b] \ neq0), akkor az (a) és (b) nem ingáznak, és a szorzás sorrendje.
Szóval, hogyan lehet ténylegesen meghatározni, hogy két elem ingázik -e a kommutátor alapján? Nos, ez attól függ, hogy milyen elemek vannak, amelyekkel foglalkozunk. Nézzük meg néhány különféle esetet.
Mátrix
A mátrixok az egyik leggyakoribb elemtípus, ahol a kommutátort használjuk. Tegyük fel, hogy van két mátrixunk (A) és (B). Annak érdekében, hogy megtudja, hogy ingáznak -e, egyszerűen kiszámoljuk a kommutátort ([a, b] = ab - ba).
Vegyünk egy egyszerű példát. Tegyük fel, hogy (a = \ kezdje {pMatrix} 1 és 0 \ 0 és 2 \ end {pMatrix}) és (b = \ besil {pMatrix} 3 & 0 \ 0 és 4 \ end {pMatrix}).
Először kiszámoljuk (AB):
[
AB = \ Begin {PMatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ End {PMatrix} \ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ End {PMatrix} = \ Begin {PMatrix} 1 \ Times3 + 0 \ Times0 & 1 \ 0 + 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ Times3 + 2 \ Times0 & 0 \ Times0 \ Times0 + 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ Times3 + 2 \ idők 2 \ Times4 \ End {PMatrix} = \ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 és 8 \ end {pmatrix}
]
Ezután kiszámoljuk (BA):
[
Ba = \ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ End {PMatrix} \ Begin {PMatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ End {PMatrix} = \ Begin {PMatrix} 3 \ Times1 +0 \ Times0 & 3 \ Times0 + + 0 \ Times2 \ 0 \ Times1+4 \ Times0 & 0 \ Times0+4 \ Times2 \ End {PMatrix} = \ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pMatrix}
]
Most kiszámoljuk a kommutátort ([a, b] = ab - ba):
[
[A, B] = \ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 és 8 \ End {PMatrix}-\ Begin {PMatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ End {PMatrix} = \ Begin {PMatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ End {PMatrix}}
]
Mivel ([a, b] = 0), azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az (a) és b) ingázás.
De mi van, ha összetettebb mátrixunk lenne? Nos, a folyamat ugyanaz, de a számítások egy kicsit jobban bekapcsolódhatnak. Érdemes lehet egy számítógépes programot vagy számológépet használni a mátrix szaporodáshoz.
Szolgáltatók
A kvantummechanikában az operátorokat a fizikai megfigyelhetőségek ábrázolására használják. Csakúgy, mint a mátrixok, a kommutátor segítségével meghatározhatjuk, hogy két operátor ingázza -e.
Tegyük fel, hogy két operátorunk van (\ HAT {A}) és (\ HAT {B}). Annak érdekében, hogy megtudja, hogy ingáznak-e, kiszámoljuk ([\ HAT {A}, \ HAT {B}] = \ HAT {A} \ HAT {B}-\ HAT {B} \ HAT {A}).
Például vegye figyelembe a Pozíció -operátort (\ HAT {X}) és a lendület -operátort (\ HAT {P}). A kommutátor ([\ HAT {X}, \ HAT {P}] = i \ hbar), ahol (i) a képzeletbeli egység, és (\ hbar) a redukált Planck állandó. Mivel ([\ HAT {X}, \ HAT {P}] \ NEQ0), tudjuk, hogy a pozíció és a lendület -operátorok nem ingáznak.
Ennek néhány igazán fontos következménye van a kvantummechanikában. Ez azt jelenti, hogy nem mérhetjük a részecske helyzetét és lendületét egyidejűleg az önkényes pontossággal. Ezt Heisenberg bizonytalansági elvnek nevezik.
Csoportelemek
A csoportelméletben a kommutátort is felhasználhatjuk annak meghatározására, hogy két csoport elem ingázza -e. Legyen (g) csoport, és legyen (a) és (b) két elem (g). Az (a) és (b) kommutátora úgy van meghatározva, hogy ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab).
Ha ([a, b] = e), ahol (e) a csoport személyazonossági eleme, akkor az (a) és (b) ingázás. Annak érdekében, hogy megtudjuk, miért lehet átírni ([a, b] = e) AS (a^{-1} b^{-1} ab = e). A bal oldalon mindkét oldalt megszorozzuk az a) és a jobb oldalon (b) -vel (ba = AB).
Például vegye figyelembe az egész számok csoportját (\ MathBB {Z}) kiegészítés alatt. Legyen (a) és (b) két egész szám. A kommutátor ([a, b] = (-a)+(-b)+a+b = 0). Mivel a (0) a (\ MathBB {Z}) azonossági eleme, amelyen kiegészítés alatt áll, tudjuk, hogy bármelyik két egész szám ingáz.
Miért fontos tudni, hogy két elem ingázol -e?
Annak ismerete, hogy a két elem ingázása valóban fontos következményekkel járhat -e. A kvantummechanikában, amint azt korábban láttuk, a nem ingázó operátorok a bizonytalanság elvéhez vezetnek. A mátrixelméletben az ingázó mátrixoknak van néhány szép tulajdonsága. Például, ha két (a) és b) mátrix ingáz, akkor egyidejűleg átlósíthatók.
A csoportelméletben a csoport összes kommutátorának halmaza létrehoz egy alcsoportot, az úgynevezett Commutator alcsoportot. A kommutátor alcsoport felépítése sokat mondhat nekünk a csoportról.
Commutator termékeink
Kommutátor beszállítójaként a magas színvonalú kommutátorok széles skáláját kínáljuk különféle alkalmazásokhoz. Függetlenül attól, hogy egy kis kutatási projekten dolgozik, akár egy nagy méretű ipari alkalmazáson, fedezünk Önt. Megnézheti a miKommutátorokweboldalunkon, hogy megtekinthesse az általunk kínált különféle típusokat és specifikációkat.
Kommutátoraink a legújabb technológiával és a legmagasabb minőségű anyagokkal készülnek az optimális teljesítmény és megbízhatóság biztosítása érdekében. Kiváló ügyfélszolgálatot és technikai támogatást is nyújtunk, amely segít az Ön igényeinek megfelelő kommutátor kiválasztásában.
Ha érdekli a kommutátoraink megvásárlása, vagy bármilyen kérdése van termékeinkkel kapcsolatban, nyugodtan forduljon hozzánk. Mindig örülünk, hogy beszélgetünk és megvitatjuk az Ön igényeit. Függetlenül attól, hogy tudós, mérnök vagy csak valaki, aki kíváncsi a kommutátorokra, szeretnénk együtt dolgozni veled.
Referenciák
- Hall, Marshall. A csoportok elmélete. Macmillan, 1959.
- Sakurai, JJ és Napolitano, Jim J. Modern kvantummechanika. Addison - Wesley, 2011.
- Strang, Gilbert. Lineáris algebra és alkalmazásai. Cengage Learning, 2012.